Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且△AF₁F₂是直角三角形，橢圓上任一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F₁的距離的最大值為

2

+1
（1）求橢圓C的方程；
（2）與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l：y=kx+m（m＞0）交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且以線段EF為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△OEF面積的最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得，b=c，

c

a

=

2

2

，a+c=

2

+1，解方程求出a、b、c的值，即得橢圓的方程．
 （2）把直線方程代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，求得
m2=

2

3

(k2+1)，代入△OEF的面積公式換元后使用基本不等式可得面積S的最大值及此時的m、k的值．

解答：解：（1）由題意得，b=c，

c

a

=

2

2

，a+c=

2

+1，
∴a=

2

，c=1，則b=1． 所以，橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，
聯(lián)立得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，∴△=8（2k²+1-m²）＞0，

x1+x2= -4mk 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，
又以線段EF為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，

OE

•

OF

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，代入得 m2=

2

3

(k2+1)．
由于原點(diǎn)O到直線kx-y+m=0的距離為d=

m

1+k2

，|EF|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，
△OEF的面積S=

1

2

d|EF|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

 
=

m

2

•

( -4km 1+2k2 )2-4 • 2m2-2 1+2k2

=

m2 4 •( -4km 1+2k2 )2- m2 4 •4 • 2m2-2 1+2k2

=

2 3 (k2+1) 4 • 16k2• 2 3 (k2+1) (1+2k 2)2 - 2 3 (1+k2) 4 •4• [2• 2 3 (k2+1)-2]•(1+2k 2) (1+2k2)2

=
=

2

3

(2+2k2)(1+4k2) (1+2k2)2

，
設(shè)t=1+2k²＞1，則 S=

2

3

- 1 t2 + 1 t +2

=

2

3

-( 1 t - 1 2 )2+ 9 4

≤

2

2

，
當(dāng)t=2，即t=1+2k2=2，k=±

2

2

時，面積S取得最大值

2

2

，
此時，m=1，所以，直線方程為y=±

2

2

x+1．

點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．