Question

（文）某民營(yíng)企業(yè)年初用108萬(wàn)元購(gòu)買一條先進(jìn)的生產(chǎn)流水線，第一年各種費(fèi)用支出12萬(wàn)元，以后每年支出都比上一年支出增加6萬(wàn)元，若每年年收入為63萬(wàn)元．
（1）問第幾年開始總收入超過總支出？
（2）若干年后，有兩種處理方案：
方案一：總盈利最大時(shí)，以3萬(wàn)元出售該套流水線；（盈利=收入-支出）
方案二：年平均盈利最大時(shí)，以30萬(wàn)元出售該套流水線．問那種方案合算？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)第n年開始，盈利為y萬(wàn)元，從而可得y=63n-[12n+

n(n-1)

2

×6]-108=-3n²+54n-108；從而令y＞0解得即可．
（2）分別計(jì)算兩種方案的總獲利，比較即可．

解答： 解：（1）設(shè)第n年開始，盈利為y萬(wàn)元，
則y=63n-[12n+

n(n-1)

2

×6]-108
=-3n²+54n-108，（n∈N^*）；
令y＞0得，3n²--54n+108＜0，
故9-3

5

＜n＜9+3

5

，
∵n∈N，∴第3年開始盈利．

（2）若干年后，有兩種處理方案：
方案一：∵y=-3n²+54n-108=-3（n-9）²+135，
∴當(dāng)n=9時(shí)，y_max=135；
故共可獲利135+3=138萬(wàn)元；
方案二：年平均盈利為

y

n

=54-3（n+

36

n

）≤18，
（當(dāng)且僅當(dāng)n=

36

n

，即n=6時(shí)，等號(hào)成立），
共可獲利18×6+30=138萬(wàn)元；
但方案一的時(shí)間長(zhǎng)，故方案二合算．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．