Question

給出下列4個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，則△ABC是鈍角三角形；
④若cos（A-C）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的命題是（　　）

A．①③

B．③④

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：①由于sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，即得A與B兩角的關系，進而判斷出三角形的形狀；
②由于sinA=cosB=sin（

π

2

±B）則A=（

π

2

±B）或A+（

π

2

±B）=

π

2

，即得A與B兩角的關系，進而判斷出三角形的形狀；
③由題意知cosA，cosB，cosC中必有一個為負數，則△ABC必有一角為鈍角；
④由于|cosX|≤1 cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，再由三角形內角范圍，可求出各個角大小．

解答：解：①由于sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，則△ABC是等腰三角形或直角三角形，故①錯；
②由于sinA=cosB=sin（

π

2

±B），即sinA=sin（

π

2

±B），則A=（

π

2

±B）或A+（

π

2

±B）=

π

2

，則A-B=

π

2

或A-B=0或A+B=

π

2

，故②錯；
③由于cosAcosBcosC＜0，則cosA，cosB，cosC中必有一個為負數，不妨設cosA＜0，則角A為鈍角，故△ABC是鈍角三角形，即③正確；
④∵|cosX|≤1 cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1
又∵A、B、C＜180°∴A-B=B-C=C-A=0°
∴A=B=C=60°∴△ABC是等邊三角形，故④正確
故答案為 B．

點評：本題考查三角恒等變換，屬于基礎題，要求考生熟練掌握有關的公式結論．