Question

（2010•龍巖二模）已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，角A不是最大角，a=2

3

，外接圓的圓心為O，半徑為2．
（Ⅰ）求

OB

•

OC

的值；
（Ⅱ）若S△ABC=

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形ABC的外接圓半徑及a的值，利用正弦定理求出sinA的值，再根據(jù)A不是最大角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由A的度數(shù)求出∠BOC的度數(shù)，把所求式子利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡后，將各種的值代入即可求出值；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinA的值代入求出bc的值，然后再利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，把a和cosA的值代入，并利用完全平方公式變形后，將bc的值代入求出b+c的值，由a+b+c即可求出三角形的周長．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2

3

，R=2，
∴根據(jù)正弦定理得：

a

sinA

=2R，即sinA=

a

2R

=

3

2

，
∴∠A=60°或120°，
又∠A不是最大角，
∴0＜∠A＜90°，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=120°，又|

OB

|=|

OC

|=2，
則

OB

•

OC

=|

OB

|•|

OC

|cos∠BOC=2×2×（-

1

2

）=-2；
（Ⅱ）∵S_△ABC=

3

，sinA=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=

3

，即bc=4，
∵a=2

3

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-bc=12，即（b+c）²-3bc=12，
把bc=4代入得：（b+c）²=3bc+12=24，
∴b+c=2

6

，
則△ABC的周長l=a+b+c=2

3

+2

6

．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，圓周角定理，三角形的面積公式，余弦定理，以及完全平方公式的應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．