Question

設數列{a_n}是一個無窮數列，記Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差數列，證明：對于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）對任意的n∈N^*，若T_n=0，證明：a_n是等差數列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，數列b_n滿足bn=2an，由b_n構成一個新數列3，b₂，b₃，…，設這個新數列的前n項和為S_n，若S_n可以寫成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），則稱S_n為“好和”．問S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知條件寫出2T_n的表達式，將T_n與2T_n相減便可得出-T_n的表達式，將{a_n}是等差數列代入-T_n的表達式便可證明對于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）、根據題中條件先將T_n=0，再將T_n+1=0，然后將兩式相減得出a_n+1、a_n+2與a_n+3的關系式，再將T₁=0，便可得出a₁、a₂與a₃的關系式，即可證明{a_n}是等差數列；
（3）、存在，根已知條件寫出數列b_n的公式進而求得S_n，再根據題中的新定義寫出a^b的形式，取出滿足條件的a的取值范圍，分別討論當b為偶數和奇數時是否存在“好和”，便可求出當n=3時存在“好和“．

解答：解：（1）對于任意的正整數n，
∵Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，
2Tn=2

n+2

i=1

2i-1ai+4a1-2a3-2n+3an+1
將上面兩等式作差得：-Tn=a3-a1+

n+1

i=1

2i(ai+1-ai)+2n+2(an+1-an+2)
∵數列a_n是等差數列，
∴-Tn=(a2-a1)(2+

n+1

i=1

2i-2n+2)=0，
∴T_n=0．

（2）∵對于任意的正整數n，Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1=0
∴Tn+1=

n+3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0
將上面兩等式作差得：a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，
由T1=

3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-23a2=0，即a₃-a₂=a₂-a₁，
于是，對一切正整數n都是a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，所以數列{a_n}是等差數列．

（3）由（2）知a_n是等差數列，其公差是1，所以a_n=a₁+（n-1）=n-1，bn=2an=2n-1，
當n≥2時，S_n=3+2+4++2^n-1=2ⁿ+1，S₁=3=2+1，
所以對一切正整數n都有S_n=2ⁿ+1．
由a^b=2ⁿ+1，a^b-1=2ⁿ，a，b∈N，a＞1，b＞1，
∴a只能是不小于3的奇數．
當b為偶數時，ab-1=(a

b

2

+1)(a

b

2

-1)=2n，因為a

b

2

+1和a

b

2

-1都是大于1的正整數，
所以存在正整數t，s使得a

b

2

+1=2s，a

b

2

-1=2t，
2^s-2^t=2，2^t（2^s-t-1）=2，
∴2^t=2且2^s-t-1=1，t=1，s=2，相應的n=3，即有S₃=3²，S₃為好和；
當b為奇數時，a^b-1=（a-1）（1+a+a²++a^b-1），
由于1+a+a²++a^b-1是b個奇數之和，仍為奇數，又a-1為正偶數，
所以（a-1）（1+a+a²++a^b-1）不成立，這時沒有好和．

點評：本題主要涉及等差數列和等比數列的性質，以及利用相減法求前n項的和等知識點，考查學生的運算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意轉化思想和分類討論思想的運用，時各地高考的熱點和難點，屬于中檔題．