Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，已知它的前10項(xiàng)和為110，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）若b_n=（n+1）a_n求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為110，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，建立方程，求出首項(xiàng)與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，∴a₂²=a₁a₄
∵{a_n}是等差數(shù)列，∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化簡得a₁=d
∵S₁₀=110，∴10a₁+45d=110
a₁=d，代入上式得55d=110，∴d=2，a_n=a₁+（n-1）d=2n
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n；
（2）

1

bn

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2n+2

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．