Question

（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（I）求
（II）證明：

Answer 1

（I）；（II）詳見解析.

試題分析：（I）由切點(diǎn)在切線上，代入得①．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得②，聯(lián)立①②求；（II）證明成立，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，只要最小值大于1即可．該題不易求函數(shù)的最小值，故可考慮將不等式結(jié)構(gòu)變形為，分別求函數(shù)和的最值，發(fā)現(xiàn)在的最小值為，在的最大值為．且不同時取最值，故成立，即注意該種方法有局限性只是不等式的充分不必要條件，意即當(dāng)成立，最值之間不一定有上述關(guān)系．
試題解析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053912882535.png" style="vertical-align:middle;" />．．
由題意可得，．故．
（II）由（I）知，，從而等價于，設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在遞減，在遞增，從而在的最小值為．設(shè)，則．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在遞增，在遞減，從而在的最大值為．綜上，當(dāng)時，，即．
【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．