Question

(1)四面體的一個頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？

(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

Answer 1

思路解析：四點(diǎn)共面問題需明確滿足何條件的四點(diǎn)共面.

解：(1)(直接法)如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個面上，除點(diǎn)A外都有5個點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個點(diǎn)，它們與所對的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法.根據(jù)分類計數(shù)原理，知與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有+3=33種.

(2)(間接法)如圖，從10個頂點(diǎn)中取4個點(diǎn)的取法有種，除去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)可以得到結(jié)果.從四面體同一個面上的6個點(diǎn)中取出的4點(diǎn)必定共面，有=60種.四面體的每一棱上3點(diǎn)與相對棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況.從6條棱的中點(diǎn)中取4個點(diǎn)時有3種共面情形(對棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分)，故4點(diǎn)不共面的取法為-(60+6+3)=141種.