Question

設數列{a_n}前n項和為S_n，首項為x（x∈R），滿足Sn=nan-

n(n-1)

2

，n∈N₊．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）求證：若數列{a_n}中存在三項構成等比數列，則x為有理數．

Answer 1

分析：（1）由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得到S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

，由此兩方程相減，并利用S_n+1-S_n=a_n+1化簡，整理后得到a_n+1-a_n=1，可確定出數列{a_n}是等差數列；
（2）設數列{a_n}中的第x+i，x+j及x+k成等比數列，且i＜j＜k，利用等比數列的性質列出關系式，整理后得到x（i+k-2j）=j²-ik，然后利用反證法證明i+k-2j不為0，方法為：假設i+k-2j為0，可得j²-ik，即i=j=k，與i＜j＜k矛盾，故i+k-2j不為0，分離出x，根據i，j，k都是非負數，可得出x為有理數，得證．

解答：解：（1）由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得：S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

，
∴S_n+1-S_n=a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n，
∴a_n+1-a_n=1，又數列{a_n}首項為x，
則數列{a_n}是首項為x，公差為1的等差數列；
（2）若三個不同的項x+i，x+j，x+k成等比數列，且i＜j＜k，
則（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik，
若i+k-2j=0，則j²-ik=0，
∴i=j=k與i＜j＜k矛盾，
則i+k-2j≠0，
∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非負數，
∴x是有理數．

點評：此題考查了等比數列的性質，反證法的運用，等差數列的確定，以及數列的遞推式S_n+1-S_n=a_n+1，解第一問的關鍵是充分利用遞推式的恒成立的特性，通過恒等變形得到數列的性質，從而確定出數列為等差數列．