【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.
(1)證明:SD⊥平面SAB
(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:取AB中點E,連結(jié)DE,則四邊形BCDE為矩形,DE=CB=2.
連結(jié)SE,則
又SD=1,故ED2=SE2+SD2
所以∠DSE為直角,
所以SD⊥SE,
由AB⊥DE,AB⊥SE,DE∩SE=E,得AB⊥平面SDE,所以AB⊥SD.
因為AB∩SE=E,
所以SD⊥平面SAB
(2)解:由AB⊥平面SDE知,平面ABCD⊥平面SDE.
作SF⊥DE,垂足為F,則SF⊥平面ABCD,
作FG⊥BC,垂足為G,則FG=DC=1.
連結(jié)SG,則SG⊥BC
又FG⊥BC,SG∩FG=G,
故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG,
作FH⊥SG,H為垂足,則FH⊥平面SBC,
即F到平面SBC的距離為 .
由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,E到平面SBC的距離d也為 .
設(shè)AB與平面SBC所成的角為α,則 .
【解析】(1)取AB中點E,連結(jié)DE,證明SD⊥平面SAB,只需證明SD⊥SE,AB⊥SD;(2)求出F到平面SBC的距離,由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,可得E到平面SBC的距離,從而可求AB與平面SBC所成角的正弦值.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求證:EC⊥CD.
(2)求證:AG∥平面BDE.
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【題目】已知A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.
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【題目】某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標系下的坐標為A(1,2)、B(4,0),一條河所在直線方程為l:x+2y-10=0,若在河邊l上建一座供水站P使之到A、B兩鎮(zhèn)的管道最省,問供水站P應(yīng)建在什么地方?此時|PA|+|PB|為多少?
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【題目】已知A(-,0),B(0,-),其中k≠0且k≠±1,直線l經(jīng)過點P(1,0)和AB的中點.
(1)求證:A,B關(guān)于直線l對稱.
(2)當1<k<時,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.
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【題目】某食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系t=且該食品在4℃的保鮮時間是16小時。已知甲在某日上午10時購買了該食品,并將其遺放在室外,且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示。給出以下四個結(jié)論:
①該食品在6℃的保鮮時間是8小時;
②當x∈[-6,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x增大而逐漸減少;
③到了此日13時,甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi);
④到了此日14時,甲所購買的食品已然過了保鮮時間。
其中,所有正確結(jié)論的序號是__________。
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【題目】設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達式;
(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成封閉圖形的面積.
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【題目】如圖,在下列四個正方體中,為正方體的兩個頂點,為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直接與平面不平行的是( )
A. B.
C. D.
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