已知函數(shù)
（I）求函數(shù)的最小值；
（II）對于函數(shù)和定義域內(nèi)的任意實數(shù),若存在常數(shù),使得不等式和都成立,則稱直線是函數(shù)和的“分界線”．
設(shè)函數(shù)，，試問函數(shù)和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請說明理由．

（I）；（II）函數(shù)和存在“分界線”，方程為．

解析試題分析：（I）首先求函數(shù)的定義域，解方程得可能的極值點，進(jìn)一步得的單調(diào)性，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在零點附近的變號情況求的最小值；（II）函數(shù)和的圖象在處有公共點.設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，由對任意恒成立，確定常數(shù)，從而得“分界線”的方程為，再證明在時也恒成立，最后確定函數(shù)和的“分界線”就是直線．
試題解析：（I）  
令得，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以． 
（II）由，可知函數(shù)和的圖象在處由公共點. 
設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，
應(yīng)有在時恒成立，即在時恒成立，
于是，得，
則“分界線”的方程為   
記，則
令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，
即在時恒成立.  
綜上所述，函數(shù)和存在“分界線”，方程為
考點：1、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值（最值）；2、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，當(dāng)時，．
（1）證明：；
（2）若成立，請先求出的值，并利用值的特點求出函數(shù)的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件該產(chǎn)品需另投入2.7萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且
（Ⅰ）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一產(chǎn)品的產(chǎn)銷過程中所獲利潤最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)的定義域和值域均為，求實數(shù)的值；
（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，總有，求實數(shù)的取值范圍；

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已知函數(shù)．
（1）若在定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù),其中,區(qū)間
(Ⅰ)求的長度(注:區(qū)間的長度定義為);
(Ⅱ)給定常數(shù),當(dāng)時,求長度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)，且不等式的解集為.
（1）方程有兩個相等的實根，求的解析式；
（2）的最小值不大于，求實數(shù)的取值范圍；
（3）如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點.

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設(shè) 
（1）當(dāng)，求的取值范圍；
（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
（I）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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