Question

已知函數(shù)，，(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，求的最小值；
（Ⅲ）若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003200327563.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，
由， 由．
故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．                               ……4分
（Ⅱ）在恒成立等價(jià)于：在恒成立，
令則，x∈,
于是在上為減函數(shù)，又在x=e處連續(xù),
故在,
從而要使對(duì)任意的恒成立．
只要，故的最小值為．                                             ……9分
（Ⅲ）一次函數(shù)在上遞增，故函數(shù)在上的值域是．
當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
要使在不單調(diào)，只要，此時(shí)�、�
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
注意到時(shí)，
∴
∴對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件，即
令，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時(shí)有即對(duì)任意恒成立．
又由，解得……②
∴　綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使成立．                                                            ……14分
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，研究單調(diào)性、極值、最值時(shí)不要忘記先求函數(shù)的定義域，而不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，分類討論時(shí)要注意分類標(biāo)準(zhǔn)要不重不漏.