Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）若點在函數(shù)上，當，且時，證明： （是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 當時， ， 在上單調(diào)遞增，無極值，當時，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（Ⅱ）由點在函數(shù)上，可得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，得恒成立，取， ，化簡可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題，得.

當時， ， 在上單調(diào)遞增，無極值；

當時，令，得.

當時， ， 單調(diào)遞減；

當時， ， 單調(diào)遞增.

的極小值為，無極大值；

（Ⅱ），代入點， .

.

.

當時， ， 單調(diào)遞減；

當時， ， 單調(diào)遞增.

.

恒成立，

即恒成立.

，令.

.

，即，

.