Question

已知函數y=f(x)的圖象過點（－2，－3），且滿足f(x-2)=ax²-(a-3)x+(a-2)，設g(x)=f［f(x)］,F(x)=pg(x)-4f(x).

（1）求 f(x)的表達式；

（2）是否存在正實數p，使 F(x)在（-∞,f(2))上是增函數，在 (f(2),0)上是減函數？若存在，求出p；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解;（1）令x-2=t，則x=2+t,∴f(t)=a(2+t)²-(a-3)(2+t)+(a-2)，

∵f(-2)=-3,∴a-2=-3,∴a=-1.

∴f(t)=-(2+t)²+4(2+t)-3=-t²+1,即f(x)=-x²+1.

（2）g(x)=f［f(x)］=f(-x²+1)=-(-x²+1)²+1=-x⁴+2x².

F(x)=pg(x)-4f(x)=p(-x⁴+2x²)-4(-x²+1)=-px⁴+(2p+4)x²-4,

F′(x)=-4px³+4(p+2)x=-4x(px²-p-2).

∵f(2)=-3,假設存在正實數p，使 F(x)在(-∞,-3)上是增函數，在（－3，0）上是減函數,

∴F′(-3)=0，解得 p=.

當p=時，F(xiàn)′(x)=-x³+9x=x(3-x)(3+x)

當x＜-3時，F(xiàn)′(x)＞0，

∴F（x）在（-∞,-3）上是增函數.

當-3＜x＜0時，F(xiàn)′(x)＜0，

∴F(x)在（-3，0）上是減函數

∴存在正實數p=，使得F（x）在（-∞，-3）上是增函數，在（－3，0）上是減函數.