Question

已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為5，從這個(gè)圓上任一點(diǎn)p向x軸作垂線PP’，垂足為P’，M為線段PP’上一點(diǎn)，且滿足：

MP

=4

PM

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)電（3，0）且斜率為1的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由

MP

=4

PM

，可得：x=x_o，y=

4

5

y₀，P（x₀，y₀）在圓x²+y²=25上，所以，x₀²+y₀²=25，由此能求出點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直線方程：y=x-3，

x2 25 + y2 16 =1，(1) y=x-3，(2)

，整理得41x₂-150x-175=0，由韋達(dá)定理能導(dǎo)出弦AB的長(zhǎng)度．

解答：解：（I）設(shè)點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由

MP

=4

PM

，

可得：x=x_o，y=

4

5

y₀，
P（x₀，y₀）在圓x²+y²=25上，所以，x₀²+y₀²=25，
將x_o=x，y₀=

5

4

，y代入方程①，得

x2

25

+

y2

16

=1，
故點(diǎn)M的軌跡C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直線方程：y=x-3

x2 25 + y2 16 =1，(1) y=x-3，(2)

，
將（2）代入整理得41x₂-150x-175=0
由偉達(dá)定理：x1+x2=

150

41

，x1x1=-

175

41

．
所以：|AB|=

(x1-x2) 2+(y2-y1) 2

=

1+k2

(x1+x2) 2-4x1x2

=

320

41

，
故弦AB的長(zhǎng)度為

320

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)M的軌跡C的方程和求弦AB的長(zhǎng)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．