已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形(記為Q).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍。
(Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓C的方程為焦距為,由題設(shè)條件知, 所以故橢圓C的方程為
(Ⅱ)橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo),顯然直線的斜率存在,所以直線的方程為。如圖,設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G,
由得. ……①
由解得. ……②
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/87/5/1ofcp3.png" style="vertical-align:middle;" />是方程①的兩根,所以,于是
=, .
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/9/1t7bh2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊,
又直線,方程分別為
所以點(diǎn)在正方形內(nèi)(包括邊界)的充要條件為
即 亦即
解得,此時(shí)②也成立.
故直線斜率的取值范圍是
解析
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(I) 已知拋物線過焦點(diǎn)的動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn), 求證: 為定值;
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知: 過拋物線的焦點(diǎn)的動(dòng)直線 l 交拋物線于兩點(diǎn), 存在定點(diǎn), 使得為定值. 請(qǐng)寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題12分)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)。
(1)求的周長(zhǎng);
(2)若的傾斜角為,求的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線C:-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q.
(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T,且·=1,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(3)過點(diǎn)F(1,0)作直線l與(2)中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)=λ·,若λ∈[-2,-1],求|+|(T為(1)中的點(diǎn))的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn),直線,為平面上的動(dòng)點(diǎn),過作直線的垂線,垂足為點(diǎn),且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交軌跡于,兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),已知,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C的方程C:y2 ="2" p x(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(I)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(II)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線
OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若右焦點(diǎn)到直線的距離為3。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N,當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率為,且
橢圓經(jīng)過圓的圓心C。
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)且|PA|=|PB|,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知一隧道的截面是一個(gè)半橢圓面(如圖所示),要保證車輛正常通行,車頂離隧道頂部至少要有米的距離,現(xiàn)有一貨車,車寬米,車高米.
(1)若此隧道為單向通行,經(jīng)測(cè)量隧道的跨度是米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道才能保證此貨車正常通行?
(2)圓可以看作是長(zhǎng)軸短軸相等的特殊橢圓,類比圓面積公式,
請(qǐng)你推測(cè)橢圓的面積公式.并問,當(dāng)隧道為雙向通行(車道間的距離忽略不記)時(shí),要使此貨車安全通過,應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道,才會(huì)使同等隧道長(zhǎng)度下開鑿的土方量最?
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