Question

（2012•海淀區(qū)一模）在正方體ABCD-A'B'C'D'中，若點P（異于點B）是棱上一點，則滿足BP與AC'所成的角為45°的點P的個數(shù)為（　�。�

A．0

B．3

C．4

D．6

Answer 1

分析：通過建立空間直角坐標系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出所有滿足條件的點P的個數(shù)．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設棱長AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．
①在Rt△AA^′C中，tan∠AA′C=

|AC|

|AA′|

=

2

，因此∠AA^′C≠45°．
同理A^′B^′，A^′D^′與A^′C所成的角都為arctan

2

≠45°．
故當點P位于（分別與上述棱平行）棱BB^′，BA，BC上時，與A^′C所成的角都為arctan

2

≠45°，不滿足條件；
②當點P位于棱AD上時，設P（0，y，1），（0≤y≤1），則

BP

=(-1，y，0)，

A′C

=(1，1，1)．
若滿足BP與AC'所成的角為45°，則

2

2

=|cos＜

BP

，

A′C

＞|=

| BP • A′C |

| BP | | A′C |

=

|-1+y|

1+y2 3

，化為y²+4y+1=0，無正數(shù)解，舍去；
同理，當點P位于棱B^′C上時，也不符合條件；
③當點P位于棱A^′D^′上時，設P（0，y，0），（0≤y≤1），則

BP

=(-1，y，-1)，

A′C

=(1，1，1)．
若滿足BP與AC'所成的角為45°，則

2

2

=|cos＜

BP

，

A′C

＞|=

| BP • A′C |

| BP | | A′C |

=

|-2+y|

2+y2 • 3

，化為y²+8y-2=0，∵0≤y≤1，解得y=3

2

-4，滿足條件，此時點P(0，3

2

-4，0)．
④同理可求得棱A^′B^′上一點P(

3

-1，0，0)，棱A^′A上一點P(0，0，

3

-1)．
而其它棱上沒有滿足條件的點P．
綜上可知：滿足條件的點P有且只有3個．
故選B．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角得到異面直線所成的角是解題的關鍵．