Question

如圖，某化工集團(tuán)在一條河流的上、下游分別建有甲、乙兩家化工廠，其中甲廠每天向河道內(nèi)排放污水2萬m3，每天流過甲廠的河水流量是500萬m3（含甲廠排放的污水）；乙廠每天向河道內(nèi)排放污水1.4萬m3，每天流過乙廠的河水流量是700萬m3（含乙廠排放的污水）．由于兩廠之間有一條支流的作用，使得甲廠排放的污水在流到乙廠時(shí)，有20%可自然凈化．假設(shè)工廠排放的污水能迅速與河水混合，且甲廠上游及支流均無污水排放．根據(jù)環(huán)保部門的要求，整個(gè)河流中污水含量不能超過0.2%，為此，甲、乙兩個(gè)工廠都必須各自處理一部分污水．
（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩個(gè)化工廠每天各自處理的污水分別為x、y萬m3，試根據(jù)環(huán)保部門的要求寫出x、y所滿足的所有條件；
（Ⅱ）已知甲廠處理污水的成本是1200元/萬m3，乙廠處理污水的成本是1000元/萬m3，在滿足環(huán)保部門要求的條件下，甲、乙兩個(gè)化工廠每天應(yīng)分別各自處理污水多少萬m3，才能使這兩個(gè)工廠處理污水的總費(fèi)用最小？最小總費(fèi)用是多少元？

Answer 1

分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．（1）要寫出x、y所滿足的所有條件，我們需要考慮如下幾個(gè)方面①處理量不能超過自己的排放量②甲廠的污水在自然凈化后不能超過0.2%③甲、乙兩廠的污水排放量在河水中比例不能超過0.2%．（2）由甲廠處理污水的成本是1200元/萬m3，乙廠處理污水的成本是1000元/萬m3，我們可以列出目標(biāo)函數(shù)，然后畫出滿足（1）中約束條件的可行域，然后利用平移直線法，易求出最優(yōu)解．

解答：解：（Ⅰ）據(jù)題意，x、y所滿足的所有條件是

2-x 500 ≤ 0.2 100 0.8(2-x)+(1.4-y) 700 ≤ 0.2 100 0≤x≤2 0≤y≤1.4

，即

4x+5y≥8 1≤x≤2 0≤y≤1.4

（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩廠處理污水的總費(fèi)用為z元，
則目標(biāo)函數(shù)z=1200x+1000y=200（6x+5y）．
作可行域，如圖平移直線l：6x+5y=0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0.8）時(shí)，
z取最大值，此時(shí)z=1200×1+1000×0.8=2000（元）．
故甲、乙兩廠每天應(yīng)分別處理1萬m3、0.8萬m3污水，
才能使兩廠處理污水的總費(fèi)用最小，且最小總費(fèi)用是2000元．

點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．