Question

已知函數(shù)y=f（x）同時滿足：
（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=f（x）恒成立；
（2）對任意正實數(shù)x₁，x₂，若x₁＜x₂有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
試寫出符合條件的函數(shù)f（x）的一個解析式

y=log₂|x|

．

Answer 1

分析：結(jié)合條件f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可判斷此函數(shù)定與對數(shù)函數(shù)有關(guān)，再結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，確定此函數(shù)為自變量帶絕對值函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)經(jīng)翻折變換得到的函數(shù)，寫出一個解析式即可

解答：解：性質(zhì)（1）反映函數(shù)f（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上為偶函數(shù)，
性質(zhì)（2）反映函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且能將積的運算轉(zhuǎn)化為運算的和
二者結(jié)合，滿足條件f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）的函數(shù)可以時對數(shù)函數(shù)，
還要滿足為在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)的偶函數(shù)
故此函數(shù)可以為 y=log₂|x|（底數(shù)不唯一）
故答案為 y=log₂|x|

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達式的意義和應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)的能力，有一定的思維量