Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx，x∈（-

π

3

，

π

2

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍求得三角函數(shù)的最大和最小值．則f（x）的值域可得．

解答： （1）∵f（x）=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z，
∵x∈(-

π

3

， 

π

2

)，
單調(diào)增區(qū)間為(-

π

3

， 

π

12

)．
（2）∵x∈(-

π

3

， 

π

2

)，
∴-

π

3

＜2x+

π

3

＜

4π

3

，
由f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
∴f(x)∈(-

3

， 2]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="obnklnh" class="MathJye">(-

3

， 2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象及性質(zhì)．解題的過程中注意對(duì)自變量x的范圍的關(guān)注以及正弦函數(shù)圖象．