Question

（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠ ＝，且＝，、、分別為、、的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則平行且等于，所以四邊形是平行四邊形，所以//，從而∥平面．
（2）∵為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，∴⊥，又∵⊥平面，可證⊥∵＝,∴，∴，∵ 
（3）1

試題分析：（1）方法1：設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則平行且等于，…（2分）
所以四邊形是平行四邊形，所以//，
從而∥平面．                                      …………（4分）
方法2：連接、，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．
由為的中點(diǎn)，‖,可證              ……（2分）
∵、是、的中點(diǎn)，∴‖，又∵平面，
平面，∴ ∥平面               ………（4分）
（2）∵為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，∴⊥，
又∵⊥平面，可證⊥                ……（6分）
∵＝,∴，
∴，
∵                  ……（8分）
（3），，…………（10分）
…………（12分）
點(diǎn)評(píng)：高考中常考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及幾何體體積的計(jì)算，這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理.