【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,給出以下結(jié)論: ①直線A1B與B1C所成的角為60°;
②若M是線段AC1上的動(dòng)點(diǎn),則直線CM與平面BC1D所成角的正弦值的取值范圍是 ;
③若P,Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),且PQ=1,則四面體B1D1PQ的體積恒為 .
其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)
【答案】D
【解析】解:①在△A1BD中,每條邊都是 ,即為等邊三角形,∴A1B與A1D所成角為60°, 又B1C∥A1D,∴直線A1B與B1C所成的角為60°,正確;
②如圖,由正方體可得平面BDC1⊥平面ACC1 , 當(dāng)M點(diǎn)位于AC1上,且使CM⊥平面BDC1時(shí),直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最大為1,
當(dāng)M與C1重合時(shí),連接CM交平面BDC1所得斜線最長(zhǎng),直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最小等于 ,
∴直線CM與平面BDC1所成角的正弦值的取值范圍是[ ,1],正確;
③連接B1P,B1Q,設(shè)D1到平面B1AC的距離為h,則h= ,B1到直線AC的距離為 ,
則四面體PQB1D1的體積V= ,正確.
∴正確的命題是①②③.
故選:D
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,記函數(shù) .求:
(I)函數(shù) 的最小值及取得最小值時(shí) 的集合;
(II)求函數(shù)f(x) 的單調(diào)增區(qū)間。
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 . (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+2 cosωxsinωx+sin(ωx+ )sin(ωx﹣ )(ω>0),且f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)增區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ1),g(x)=cos(4x+φ2),|φ1|≤ ,|φ2|≤ . 命題①:若直線x=φ是函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)稱軸,則直線x= kπ+φ(k∈Z)是函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸;
命題②:若點(diǎn)P(φ,0)是函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)稱中心,則點(diǎn)Q( +φ,0)(k∈Z)是函數(shù)f(x)的中心對(duì)稱.( )
A.命題①②都正確
B.命題①②都不正確
C.命題①正確,命題②不正確
D.命題①不正確,命題②正確
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+cosα﹣2﹣x+cosα , x∈R,且 .
(1)若0≤α≤π,求α的值;
(2)當(dāng)m<1時(shí),證明:f(m|cosθ|)+f(1﹣m)>0.
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【題目】已知實(shí)數(shù)集R,集合A={x|1<x<3},集合B={x|y= },則A∩(RB)=( )
A.{x|1<x≤2}
B.{x|1<x<3}
C.{x|2≤x<3}
D.{x|1<x<2}
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【題目】如圖,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B、P在單位圓上,且B(﹣ , ),∠AOB=α.
(1)求 的值;
(2)設(shè)∠AOP=θ( ≤θ≤ ), = + ,四邊形OAQP的面積為S,f(θ)=( ﹣ )2+2S2﹣ ,求f(θ)的最值及此時(shí)θ的值.
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【題目】下列各組中的函數(shù)f(x),g(x)表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=x+1,g(x)=
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=log22x , g(x)=2log2x
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