Question

【題目】2019年7曰1日至3日，世界新能源汽車大會在海南博鰲召開，大會著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應(yīng)時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如下的頻率分布直方圖：

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.

（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，，.

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束，設(shè)遙控車移到第n格的概率為，試說明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

Answer 1

【答案】（1）（千米）（2）（3）說明詳見解析，此方案能夠成功吸引顧客購買該款新能源汽車

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算方法即可得出．

（2）由，．利用正態(tài)分布的對稱性可得．

（3）遙控車開始在第0 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．可得：．變形為．即可證明時，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為的等比數(shù)列．利用，及其求和公式即可得出．可得獲勝的概率，失敗的概率．進而得出結(jié)論．

解：（1）

（千米）．

（2）由，．

．

（3）遙控車開始在第0 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．

遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：

①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．

②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．

．

．

時，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為的等比數(shù)列．

，，，，．

，1，，．

獲勝的概率，

失敗的概率．

．

獲勝的概率大．

此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．