【題目】如圖.設(shè)橢圓C: (a>b>0)的離心率e= ,橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l:x=1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),P點(diǎn)位于第一象限,A、B是橢圓上位于直線l兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),若直線AB的斜率為 ,求四邊形APBQ面積的最大值.
【答案】
(1)解:∵橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4,
∴2a=4,即a=2,
又∵離心率e= ,
∴ = ,即b2=3,
∴橢圓C的方程為: ;
(2)解:依題意, ,解得:yP= ,
設(shè)T(1,t),則﹣ <t< ,
∵過點(diǎn)T的直線AB的斜率為 ,
∴直線AB方程為:x﹣2y+2t﹣1=0,
∴點(diǎn)P到直線AB的距離dP= = ,
點(diǎn)Q到直線AB的距離dQ= = ,
聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去x整理得:
16y2﹣12(2t﹣1)y+12t2﹣12t﹣9=0,
∴y1+y2= ,y1y2= ,
∴ =
= ﹣4
= ,
∴|AB|2= + =5 ,
∴S四邊形APBQ= |AB|(dP+dQ)
= ( + )
= ,
記f(t)=﹣4t2+4t+15=﹣4 +16,
則當(dāng)t= 時(shí),f(t)取最大值16,此時(shí)S四邊形APBQ取最大值,
∴四邊形APBQ面積取最大值 = .
【解析】(1)通過橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4、利用橢圓定義可知a=2,通過離心率e= 可知b2=3,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由(1)可知yP= ,通過設(shè)T(1,t)(﹣ <t< ),利用過點(diǎn)T的直線AB的斜率為 可知直線AB方程為x﹣2y+2t﹣1=0,進(jìn)而可知點(diǎn)P到直線AB的距離dP= 、點(diǎn)Q到直線AB的距離dQ= ,通過聯(lián)立直線AB與橢圓方程、利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可知|AB|2=5 ,利用S四邊形APBQ= |AB|(dP+dQ)計(jì)算可知S四邊形APBQ= ,通過配方可知f(t)=﹣4t2+4t+15在t= 時(shí)取最大值16,進(jìn)而可得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(I)寫出直線l的一般方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判斷它們的位置關(guān)系;
(II)將曲線C向左平移2個(gè)單位長度,向上平移3個(gè)單位長度,得到曲線D,設(shè)曲線D經(jīng)過伸縮變換 得到曲線E,設(shè)曲線E上任一點(diǎn)為M(x,y),求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 內(nèi)有一點(diǎn)M(2,1),過M的兩條直線l1 , l2分別與橢圓E交于A,C和B,D兩點(diǎn),且滿足 (其中λ>0,且λ≠1),若λ變化時(shí),AB的斜率總為 ,則橢圓E的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為F,過橢圓C中心的弦PQ長為2,且∠PFQ=90°,△PQF的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A1、A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),S為直線 上一動(dòng)點(diǎn),直線A1S交橢圓C于點(diǎn)M,直線A2S交橢圓于點(diǎn)N,設(shè)S1、S2分別為△A1SA2、△MSN的面積,
求 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:函數(shù)f(x)= 的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為(1,1);命題q:若函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則有g(shù)(a)(b﹣a)< g(x)dx<g(b)(b﹣a)成立.下列命題為真命題的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線y=kx+1與圓x2+y2+2x﹣my=0相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B關(guān)于直線l:x+y=0對(duì)稱,則|AB|= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線l過定點(diǎn)(﹣1,0),且傾斜角為α(0<α<π),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ(ρcosθ+8).
(1)寫出l的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且 ,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體EF﹣ABCD中,CDEF為邊長為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求證:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=4x3+ ,x∈[0,1],證明:
(Ⅰ)f(x)≥1﹣2x+3x2;
(Ⅱ) <f(x)≤ .
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