【題目】橢圓C：的離心率是，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．

求橢圓C的方程；

過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在異于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，使得直線l變化時(shí)，總有？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)滿足題意。

【解析】

（1）利用已知條件，求解a，b，即可得到橢圓方程．

（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程：y＝kx+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A，B坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)Q（0，t）符合題意，利用韋達(dá)定理，把轉(zhuǎn)化為kQA＝﹣kQB，求解即可．

（1）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，得，且離心率是，所以得，，所以橢圓C的方程為：；

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程：，

由得，，

設(shè)，

假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，，，

，

上式對(duì)任意實(shí)數(shù)k恒等于零，，即，．

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，A，B兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，，

顯然此時(shí)，

綜上，存在定點(diǎn)滿足題意

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為： ，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)， ）．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求．

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【題目】已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若, 在區(qū)間恒成立,求a的取值范圍．

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【題目】設(shè)、分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、.

（1）判斷與以為直徑的圓的位置關(guān)系（內(nèi)、外、上）并證明.

（2）記直線與軸的交點(diǎn)為，在直線上，求點(diǎn)，使得.

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【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，

.

（1）證明： ；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，（ ），若對(duì)任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是__________．

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【題目】為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（ ）

A. 6 B. 8 C. 12 D. 18

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【題目】對(duì)于以下四個(gè)命題：①兩條異面直線有無(wú)數(shù)條公垂線；②直線在平面內(nèi)的射影是直線；③如果兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影平行，那這兩條直線平行；④過兩條異面直線的一條有且僅有一個(gè)平面與已知直線平行；上述命題中為真命題的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè)

A.B.C.D.

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（1）若與圓相切，求的方程；

（2）若與圓相交于，兩點(diǎn)，求三角形面積的最大值，并求此時(shí)的直線方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案