已知定點(diǎn)A(0，a)(a＞0)，直線l1：y＝－a交y軸于點(diǎn)B，記過點(diǎn)A且與直線l1相切的圓的圓心為點(diǎn)C．

(Ⅰ)求動點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(Ⅱ)設(shè)傾斜角為α的直線l2過點(diǎn)A，交軌跡E于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R．

(1)若tanα＝1，且ΔPQB的面積為，求a的值；

(2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)連CA，過C作CD⊥l1，垂足為D，由已知可得|CA|＝|CD|，

　　∴點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，

　　∴軌跡E的方程為x2＝4ay　　(4分)

　　(Ⅱ)直線l2的方程為y＝kx＋a，與拋物線方程聯(lián)立消去y得x2－4akx－4a2＝0．

　　記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　則x1＋x2＝4ak，x1x2a2＜0　　(6分)

　　(1)若tanα＝1，即k＝1，此時x1＋x2＝4a，x1x2＝－4a2．

　　∴SΔBPQ＝SΔABP＋SΔABQ＝a|x1|＋a|x2|＝a|x2－x1|

　　＝a＝a＝a＝4a2　　(8分)

　　∴4a2＝，注意到a＞0，∴a＝　　(9分)

　　(2)因?yàn)橹本�PA的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，－a)　　(10分)

　　|PR|·|QR|＝·＝(x1＋，y1＋a)·(x2＋，y2＋a)

　�。�(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2a)(kx2＋2a)

　�。�(1＋k2)x1x2＋(＋2ak)(x1＋x2)＋＋4a2

　�。剑�4a2(1＋k2)＋4ak(＋2ak)＋＋4a2＝4a2(k2＋)＋8a2≥8a2＋8a2＝16a2

　　又α∈[，]，∴k∈[，1]，

　　當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝1時取到等號　　(12分)

　　從而|PR|·|QR|的最小值為16a2　　(14分)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)A(0，
3
)，點(diǎn)B在圓F：x2+(y-
3
)2=16上運(yùn)動，F(xiàn)為圓心，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若曲線Q：x2-2ax+y2+a2=
1
4
被軌跡E包圍著，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：中學(xué)教材標(biāo)準(zhǔn)學(xué)案　數(shù)學(xué)　高二上冊 題型：044

已知常數(shù)a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，經(jīng)過原點(diǎn)O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0，a)，以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P．其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使得|PF|＋|PF|為定值．若存在，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)2-1蘇教版 蘇教版 題型：044

已知常數(shù)a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，經(jīng)過原點(diǎn)O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0，a)，以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使得||＋||為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；請若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江西新余市第一中學(xué)2012屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，已知定點(diǎn)A(0，a)，B(0，－a)，M，N是x軸上兩個不同的動點(diǎn)，且，直線AM與直線BN交于C點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)若存在過點(diǎn)(0，－1)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E、F，且|AE|＝|AF|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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