Question

已知在△A BC中，角 A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知c=2，sinA-cos（A-

π

6

）=cos（B-C+

π

6

）．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若sinA=

1

3

，求邊b的長．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的余弦函數

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運用兩角和差的余弦和正弦公式，結合內角和定理，化簡即可得到角C；
（Ⅱ）運用正弦定理判斷角A為銳角，再由兩角和的正弦公式求得sinB，由正弦定理計算即可得到b．

解答： 解：（Ⅰ）sinA-cos（A-

π

6

）=cos（B-C+

π

6

），
即為sinA-（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=cos（B-C+

π

6

），

1

2

sinA-

3

2

cosA=cos（B-C+

π

6

），
sin（A-

π

3

）=cos（B-C+

π

6

），
cos（

5π

6

-A）=cos（B-C+

π

6

），
由于A，B，C為三角形的內角，則
B-C+

π

6

=

5π

6

-A或B-C+

π

6

=-（

5π

6

-A），
即A+B-C=

2π

3

或B-C-A+π=0，
即C=

π

6

或B=0（舍去），
則有C=

π

6

；
（Ⅱ）由于sinA=

1

3

，sinC=

1

2

，
由正弦定理可得sinA＜sinC即為a＜c，
即A＜C，A為銳角，
cosA=

1- 1 9

=

2 2

3

，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

1

3

×

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

3 +2 2

6

，
由正弦定理可得，b=

csinB

sinC

=

2× 3 +2 2 6

1 2

=

2 3 +4 2

3

．

點評：本題考查正弦定理的運用，考查三角函數的化簡和求值，考查兩角和差的正弦公式和余弦公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．