某港口各泊位每天的水深(水面與洋底的距離)f(x)(單位:米)與時間x(單位:小時)的函數(shù)關(guān)系近似地滿足f(x)=Asin(
π6
x+φ)+B(A,B>0,0≤φ<2π).在通常情況下,港口各泊位能正常進行額定噸位的貨船的裝卸貨任務(wù),而當貨船的噸位超過泊位的額定噸位時,貨船需在漲潮時駛?cè)牒降,靠近碼頭卸貨,在落潮時返回海洋.該港口某五萬噸級泊位接到一艘七萬噸貨船卸貨的緊急任務(wù),貨船將于凌晨0點在該泊位開始卸貨.已知該泊位當天的最低水深12米,最大水深20米,并在凌晨3點達到最大水深.
(1)求該泊位當天的水深f(x)的解析式;
(2)已知該貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為12.5米,安全條例規(guī)定,當船底與洋底距離不足1.5米時,貨船必須停止卸貨,并將船駛向較深的水域.據(jù)測算,一個裝卸小隊可使貨船吃水深度以每小時0.1米的速度減少.
(Ⅰ)如果只安排一裝卸小隊進行卸貨,那么該船在什么時間必須停止卸貨,并將船駛向較深的水域(精確到小時)?
(Ⅱ)如果安排三個這樣的裝卸小隊同時執(zhí)行該貨船的卸貨任務(wù),問能否連續(xù)不間斷的完成卸貨任務(wù)?說明你的理由.
分析:(1)設(shè)出函數(shù)解析式,據(jù)最大值與最小值的差的一半為A;最大值與最小值和的一半為B;通過最大值求出φ,得到函數(shù)解析式.
(2)據(jù)題意列出不等式,利用三角函數(shù)的周期性及單調(diào)性解三角不等式,進而得到結(jié)論.
解答:解:(1)由于泊位當天的最低水深12米,最大水深20米,
所以
-A+B=12
A+B=20
,解得
A=4
B=16

f(x)=4sin(
π
6
x+φ)+16

由于在凌晨3點達到最大水深,則f(3)=4sin(
π
2
+φ)+16=20

sin(
π
2
+φ)=1
,又0≤φ<2π,∴φ=0
f(x)=4sin(
π
6
x)+16,x∈[0,24]
;
(2)設(shè)貨船吃水深度以每小時a米的速度減少,則在x時刻貨船的吃水深度為(12.5-ax)米.
令g(x)=f(x)-(12.5-ax)-1.5,則g(x)=4sin(
π
6
x)+ax+2

要使貨船能在該泊位正常卸貨,當且僅當g(x)≥0
(Ⅰ)如果只安排一裝卸小隊進行卸貨,那么a=0.1,g(x)=4sin(
π
6
x)+0.1x+2

當x∈(0,7]時,因為4sin(
π
6
x)≥
4sin(
6
)=-2
,所以g(x)≥-2+0.1x+2>0,
又由g(8)=4sin(
6
)+0.8+2=-2
3
+2.8<0

所以該船必須在上午7點停止卸貨,并將船駛向較深的水域;
(Ⅱ)安排三個這樣的裝卸小隊同時卸貨,能按要求完成卸貨任務(wù)
此時,a=0.3,g(x)=4sin(
π
6
x)+0.3x+2

因為泊位的水深f(x)=4sin(
π
6
x)+16,x∈[0,24]
在當天上午9點達到最小水深.
所以要連續(xù)不間斷的完成卸貨任務(wù)當且僅當在x∈[0,9]時正常卸貨.
當x∈(0,7]時,因為4sin(
π
6
x)≥
4sin(
6
)=-2
,所以g(x)≥-2+0.3x+2>0,
當x∈[0,7]時,因為4sin(
π
6
x)≥
-4,0.3x+2≥0.3×7+2=4.1,所以g(x)≥0.1>0,
綜上,對任意的x>0,g(x)>0恒成立,
即安排三個這樣的裝卸小隊同時卸貨,能按要求完成卸貨任務(wù).
點評:本題主要考查三角函數(shù)知識的應(yīng)用問題.解決本題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)解析式.求三角函數(shù)的解析式注意由題中條件求出周期,最大最小值等.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃,有如下兩種方案:
方案甲:按現(xiàn)狀進行運營.據(jù)測算,每年可收入760萬元,但由于港口淤積日益嚴重,從明年開始需投資進行清淤,第一年投資50萬元,以后逐年遞增20萬元.
方案乙:從明年起開始投資6000萬元進行港口改造,以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力.港口改造需用時4年,在此期間邊改造邊運營.據(jù)測算,開始改造后港口第一年的收入為320萬元,在以后的3年中,每年收入都比上一年增長50%,而后各年的收入都穩(wěn)定在第4年的水平上.
(I)從明年開始至少經(jīng)過多少年,方案乙能收回投資(累計總收益為正數(shù))?
(II)從明年開始至少經(jīng)過多少年,方案乙的累計總收益超過方案甲?(注:收益=收入-投資)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某港口水文觀測站記錄的某日水深數(shù)據(jù)如下表:

時間/時

0

3

6

9

12

15

18

21

24

水深/米

9.0

11.0

9.0

7.0

9.0

11.0

9.0

7.0

9.0

某同學得出下列結(jié)論,其中錯誤的一個是(    )

A.這天港口有兩次漲潮                            B.這天的9時與21時港口水位相同

C.這天港口水位變化不大于2米                 D.這天港口的水位變化不小于4米

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃,有如下兩種方案:
方案甲:按現(xiàn)狀進行運營.據(jù)測算,每年可收入760萬元,但由于港口淤積日益嚴重,從明年開始需投資進行清淤,第一年投資50萬元,以后逐年遞增20萬元.
方案乙:從明年起開始投資6000萬元進行港口改造,以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力.港口改造需用時4年,在此期間邊改造邊運營.據(jù)測算,開始改造后港口第一年的收入為320萬元,在以后的3年中,每年收入都比上一年增長50%,而后各年的收入都穩(wěn)定在第4年的水平上.
(I)從明年開始至少經(jīng)過多少年,方案乙能收回投資(累計總收益為正數(shù))?
(II)從明年開始至少經(jīng)過多少年,方案乙的累計總收益超過方案甲?(注:收益=收入-投資)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃,有如下兩種方案:

方案甲:按現(xiàn)狀進行運營,據(jù)測算,每年可收入760萬元,但由于港口淤積日益嚴重,從明年開始需投資進行清淤,第一年投資50萬元,以后逐年遞增20萬元.

方案乙:從明年起開始投資6000萬元進行港口改造,以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力,港口改造需用時4年,在此期間邊改造邊運營,據(jù)測算,開始改造后港口第一年收入為320萬元,在以后的4年中,每年收入都比上一年增長50%,而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上.

(1)從明年開始至少經(jīng)過多少年,方案乙能收回投資(累計總收益為正數(shù)).

(2)從明年開始至少經(jīng)過多少年,方案乙的累計總收益超過甲?(收益=收入-投資)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案