Question

關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案：
方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，每年可收入760萬(wàn)元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬(wàn)元，以后逐年遞增20萬(wàn)元．
方案乙：從明年起開始投資6000萬(wàn)元進(jìn)行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力．港口改造需用時(shí)4年，在此期間邊改造邊運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，開始改造后港口第一年的收入為320萬(wàn)元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增長(zhǎng)50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第4年的水平上．
（I）從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙能收回投資（累計(jì)總收益為正數(shù)）？
（II）從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙的累計(jì)總收益超過方案甲？（注：收益=收入-投資）

Answer 1

分析：（I）設(shè)從明年開始經(jīng)過第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)．在方案乙中，前4年的總收入為

320×(1-1.54)

1-1.5

=2600＜6000，故n必定不小于5，則由260+320×1.5⁴（n-4）＞6000，能求出n的最小值．
（II）設(shè)從明年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y₁，y₂萬(wàn)元，則y1=760n-[50n+

n(n-1)

2

×20]=-10n2+720n，當(dāng)n≤4時(shí)，則y₁＞0，y₂＜0，可得y₁＞y₂；當(dāng)n≥5時(shí)，y₂=2600+320×1.5⁴（n-4）-6000=1620n-9800，由此可得n的最小值．

解答：解：（I）設(shè)從明年開始經(jīng)過第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)．
在方案乙中，前4年的總收入為

320×(1-1.54)

1-1.5

=2600＜6000，
故n必定不小于5，則由260+320×1.5⁴（n-4）＞6000，
解得n＞

494

81

，故n的最小值為7，
答：從明年開始至少經(jīng)過7年，方案乙能收回投資．
（II）設(shè)從明年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y₁，y₂萬(wàn)元，則y1=760n-[50n+

n(n-1)

2

×20]=-10n2+720n，
當(dāng)n≤4時(shí)，則y₁＞0，y₂＜0，可得y₁＞y₂；
當(dāng)n≥5時(shí)，y₂=2600+320×1.5⁴（n-4）-6000=1620n-9800，
令y₁＜y₂，
可得1620n-9800＞-10n²+720n，
即n（n+90）＞998，
由10（10+90）＞9989（9+90）＜998，
可得n的最小值為10．
答：從明年開始至少經(jīng)過10年，方案乙的累計(jì)總收益超過方案甲．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要注意不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用．