Question

17、過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)．
（1）求AB的中點(diǎn)C到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離；
（2）求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線(xiàn)的傾斜角可表示出直線(xiàn)AB的方程，然后聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程可得到兩根之和與兩根之積進(jìn)而可得到中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)求出AB的中點(diǎn)C到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離．
（2）根據(jù)（1）中所求的兩根之和與兩根之積結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得到答案．

解答：解：（1）拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，
直線(xiàn)AB的方程為y=x-1，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
將y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
則x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3．
所以中點(diǎn)C到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3+1=4．
（2）∵|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+[（x₁-1）+（x₂-1）]²=2（x₁-x₂）²
=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2（36-4）=64
∴|AB|=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題和兩點(diǎn)間的距離公式．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題一直都是高考的重點(diǎn)，要著重復(fù)習(xí)．