Question

（Ⅰ）求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

的圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)圓心為（a，3a），
由圓與x軸相切可得圓的半徑r=3|a|．
∵圓心到直線的距離d=

|a-3a|

2

=

2

a，圓被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

，
∴根據(jù)垂徑定理，得r²=d²+（

7

）²，
即9a²=2a²+7，解得a=±1．
由此可得所求圓的圓心為（1，3）或（-1，-3），半徑r=3．
∴圓C的方程為 （x+1）²+（y+3）²=9或 （x-1）²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），圓上的動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀），則
線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x

2

，

y

2

），線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

，可得x₀=x+3且y₀=y-4，
∴N坐標(biāo)為（x+3，y-4），
N點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足圓的方程，代入化簡(jiǎn)可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合題意，舍去
因此，所求點(diǎn)P的軌跡方程為（x+3）²+（y-4）²=4（點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）．