Question

【題目】如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為，將沿翻折到的位置，使得二面角的大小為.

（1）證明：平面平面；

（2）點(diǎn)在直線上，且直線與平面所成角正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，證明得平面，即可證明結(jié)論；

（2）由（1）得即為二面角的平面角，即，建立如下圖直角坐標(biāo)系，得出坐標(biāo)，設(shè)，由已知條件結(jié)合直線與平面所成角公式，求出，確定坐標(biāo)，分別求出平面和平面法向量坐標(biāo)，再由空間向量的二面角公式，即可求解.

（1）證明：設(shè)交于點(diǎn)，連接，即為中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以

由于平面，平面，

所以平面，又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>，

所以即為二面角的平面角，即，

得，由，

以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

設(shè)，

所以

平面的一個(gè)法向量可為，

因?yàn)橹本�與平面所成角正弦值為

所以，

解得，所以，，

設(shè)平面的法向量為，則，

即，令，得，

因?yàn)?/span>，

設(shè)平面的法向量為，則，

即，令，得，

所以，

即二面角的余弦值為.