【題目】已知一列函數(shù),設直線的交點為,點軸和直線上的射影分別為,記的面積為,的面積為.

1)求的最小值,并指出此時的取值;

2)在中任取一個函數(shù),求該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率;

3)是否存在正整數(shù),使得成立,若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.

【答案】1,23)不存在

【解析】

1)根據(jù)題意表示出,結合基本不等式即可求得最小值及取得最小值時的值.

2)根據(jù)函數(shù)表達式,結合打勾函數(shù)的圖像與性質,即可判斷在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的所有情況,即可求得在中滿足條件的概率.

3)由直線的交點為,即可求得點的坐標.由點軸和直線上的射影分別為,結合點到直線距離公式即可求得的坐標.表示出的面積,的面積.將、的表達式代入等式,通過化簡變形,檢驗即可得知的值,若不存在.

1)函數(shù)

所以

由基本不等式可知,

當且僅當時取等號,時取等號

所以的最小值為,時取等號

2)因為結合對勾函數(shù)的圖像與性質

所以

內滿足單調遞增,不滿足.因而滿足在內滿足單調遞增的函數(shù)共有49.

因為,

滿足在內單調遞減,所以此時共有

所以該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的個數(shù)共有

即該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率為

3)因為直線的交點為

所以

軸上的射影為,所以

在直線上的射影為,直線方程化為一般式可得

則由點到直線距離公式可得

軸作垂直,于點E

所以

畫出函數(shù)圖像如下圖所示:

所以的面積為

的面積為

假設存在正整數(shù),使得成立,代入可得

將式子化簡可得

,等式左邊等于20,等式右邊等于17,等式不成立

,等式左邊等于32,等式右邊等于68,等式不成立

,等式左邊小于0,等式右邊大于0,等式不成立.

綜上可知,不存在正整數(shù),使得成立

練習冊系列答案
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