已知f(x)=ax2+4x+1(a<0),對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a,存在一個(gè)最大的正數(shù)t,在區(qū)間[0,t]上,|f(x)|≤3恒成立.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求t的值;           
(2)求t關(guān)于a的表達(dá)式g(a);
(3)求g(a)的最大值.
分析:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-(x-2)2+5要使存在一個(gè)最大的正數(shù)t,在區(qū)間[0,t]上,|f(x)|≤3恒成立,t只能是-x2+4x+1=3的較小的根即可;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值,研究二次函數(shù)的最值與3的大小關(guān)系,分類(lèi)討論,可求t關(guān)于a的表達(dá)式g(a);
(3)由(2)中所得的表達(dá)式,求其最值即可.
解答:解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-(x-2)2+5
由于函數(shù)f(x)的最大值大于3,要使存在一個(gè)最大的正數(shù)t,在區(qū)間[0,t]上,|f(x)|≤3恒成立,所以t只能是-x2+4x+1=3的較小的根2-
2

(2)由a<0,f(x)=a(x+
2
a
)
2
+1-
4
a

當(dāng) 1-
4
a
>3
,即-2<a<0時(shí),要使|f(x)|≤3,在區(qū)間[0,t]上恒成立,要使得正數(shù)t最大,正數(shù)t只能是ax2+4x+1=3的較小的根,即t=
2a+4
-2
a
;
當(dāng) 1-
4
a
≤3
,即a≤-2時(shí),要使|f(x)|≤3,在區(qū)間[0,t]上恒成立,要使得正數(shù)t最大,正數(shù)t只能是ax2+4x+1=-3的較大的根,即t=
-2
1-a
-2
a

所以g(a)=
2a+4
-2
a
(-2<a<0)
-2
1-a
-2
a
(a≤-2)

(2)當(dāng)-2<a<0時(shí),t=
2a+4
-2
a
=
2
2a+4
+2
1
2
;
當(dāng)a≤-2時(shí),t=
-2
1-a
-2
a
=
2
1-a
-1
2
3
-1
=
3
+1
;
所以g(a)的最大值為
3
+1
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),求解的關(guān)鍵是正確理解“對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a,存在一個(gè)最大的正數(shù)t,在區(qū)間[0,t]上,|f(x)|≤3恒成立”,要根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象好好研究.
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1
2
,1)
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3b-2
3a+2
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3
2
)從小到大的順序是
f(-3)<f(3)<f(
3
2
f(-3)<f(3)<f(
3
2

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