例2:已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式x≤f(x)≤
x2+12
對一切實(shí)數(shù)x都成立?
分析:通過圖象過一點(diǎn)得到a、b、c一關(guān)系式,觀察發(fā)現(xiàn)1≤f(1)≤1,又可的一關(guān)系式,再將b、c都有a表示.不等式x≤f(x)≤
x2+1
2
對一切實(shí)數(shù)x都成立可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元二次不等式恒成立,即可解得.
解答:解:∵f(x)的圖象過點(diǎn)(-1,0),∴a-b+c=0①
∵x≤f(x)≤
x2+1
2
對一切x∈R均成立,
∴當(dāng)x=1時(shí)也成立,即1≤a+b+c≤1.
故有a+b+c=1.②
由①②得b=
1
2
,c=
1
2
-a.
∴f(x)=ax2+
1
2
x+
1
2
-a.
故x≤ax2+
1
2
x+
1
2
-a≤
x2+1
2
對一切x∈R成立,
也即
ax2-
1
2
x+
1
2
-a≥0
(1-2a)x2-x+2a≥0
恒成立?
1≤0
2≤0
a>0
1-2a>0
?
1
4
-4a(
1
2
-a)≤0
1-8a(1-2a)≤0
a>0
1-2a>0.

解得a=
1
4
.∴c=
1
2
-a=
1
4

∴存在一組常數(shù)a=
1
4
,b=
1
2
,c=
1
4
,使不等式x≤f(x)≤
x2+1
2
對一切實(shí)數(shù)x均成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)恒成立問題,以及不等式的證明,賦值法(特殊值法)可以使“探索性”問題變得比較明朗,它是解決這類問題比較常用的方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

例2:已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式x≤f(x)≤
x2+1
2
對一切實(shí)數(shù)x都成立?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省黃岡市麻城市博達(dá)學(xué)校高三(上)9月段考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

例2:已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式x≤f(x)≤對一切實(shí)數(shù)x都成立?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué):2.6 二次函數(shù)(解析版) 題型:解答題

例2:已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式x≤f(x)≤對一切實(shí)數(shù)x都成立?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備(第04課時(shí)):第一章 集合與簡易邏輯-一元二次不等式的解法(解析版) 題型:解答題

例2:已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式x≤f(x)≤對一切實(shí)數(shù)x都成立?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案