Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B為正方形，BB₁C₁C是菱形，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求證：BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求證：B₁C⊥AC₁；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，H，G分別是B₁C，AA₁，A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)，試判斷E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)是否共面，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由BC∥B₁C₁，證明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）先證明AB⊥平面BB₁C₁C，得AB⊥B₁C，再證明B₁C⊥平面ABC₁，得出B₁C⊥AC₁；
（Ⅲ）E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)不共面，通過證明點(diǎn)F∉平面EHG，即F∈平面AA₁C₁C，且平面AA₁C₁C∥平面EFH即可．

解答： 證明：（Ⅰ）在菱形BB₁C₁C中，BC∥B₁C₁，
因?yàn)锽C?平面AB₁C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，
所以BC∥平面AB₁C₁；…（3分）
（Ⅱ）連接BC₁，在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁，
因?yàn)槠矫鍭A₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，
平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，
AB?平面ABB₁A₁，
所以AB⊥平面BB₁C₁C；…（5分）
又因?yàn)锽₁C?平面BB₁C₁C，
所以AB⊥B₁C；…（6分）
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C；
因?yàn)锽C₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，且BC₁∩AB=B，
所以B₁C⊥平面ABC₁；…（8分）
因?yàn)锳C₁?平面ABC₁，
所以B₁C⊥AC₁；…（10分）
（Ⅲ）E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)不共面，理由如下；…（11分）
因?yàn)镋，G分別是B₁C，B₁C₁的中點(diǎn)，
所以GE∥CC₁，
同理可證：GH∥C₁A₁；
因?yàn)镚E?平面EHG，
GH?平面EHG，GE∩GH=G，
CC₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
所以平面EHG∥平面AA₁C₁C；
又因?yàn)镕∈平面AA₁C₁C，
所以F∉平面EHG，即E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)不共面．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的平行與垂直的判斷與直線的應(yīng)用問題，也考查了判斷空間中的四點(diǎn)是否共面問題，是綜合性題目．