Question

已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根和，

（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）時(shí)，在遞增；   時(shí)，在遞增；遞減    時(shí)，在遞減；遞增  

（2 的取值范圍是       （ⅱ）  

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。借助于導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系來(lái)確定單調(diào)區(qū)間，以及運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來(lái)分析方程根的問(wèn)題的綜合運(yùn)用。

（1）首先先求解定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零或者導(dǎo)數(shù)小于零，得到單調(diào)區(qū)間。需要對(duì)于參數(shù)a分類討論。

（2）當(dāng)a=1，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則可以分析函數(shù)y=f(x)的圖像的變化情況，確定參數(shù)k的取值范圍。同時(shí)借助于單調(diào)性證明不等式

（1）

時(shí)，在遞增；  又時(shí)

時(shí)，在遞增；遞減

時(shí)，在遞減；遞增    5分

（2）（�。┯桑�1）知在遞增；遞減 ∴  6分

又，而    ∴

所以的取值范圍是                                                 8分

（ⅱ）由（�。┎环猎O(shè)，則

∵在遞減，∴要證. 即證.

即證，即證

令，

   則

∴在遞增   ∴，即，即，  ∴