已知向量
a
=(
3
sinx，sinx)，
b
=(sinx，cosx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
3
2
（x∈R）．
（1）若x∈（0，
π
2
），求f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f（A）=f（B）=
1
2
，求
BC
AB
的值．
分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運算與三角函數(shù)公式將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=sin（2x-
π
3
），結(jié)合x∈（0，
π
2
），即可求f（x）的最大值；
（2）依題意可得sin（2x-
π
3
）=
1
2
，而-
π
3
＜2x-
π
3
＜
5π
3
，從而可得x=
π
4
或x=
7π
12
，在△ABC中，A＜B，從而有A=
π
4
，B=
7π
12
，再利用正弦定理即可求
BC
AB
的值．
解答：解：（1）f（x）=
3
(1-cos2x)
2
+
1
2
sin2x-
3
2

=
1
2
sin2x-
3
2
cos2x
=sin（2x-
π
3
）．…（4分）
∵0＜x＜
π
2
，
∴-
π
3
＜2x-
π
3
＜
2π
3
．…（6分）
∴當(dāng)2x-
π
3
=
π
2
時，即x=
5π
12
時，f（x）取最大值1．…（7分）
（2）∵f（x）=sin（2x-
π
3
），x是三角形的內(nèi)角，則0＜x＜π，-
π
3
＜2x-
π
3
＜
5π
3
．
令f（x）=
1
2
，得sin（2x-
π
3
）=
1
2
，
∴2x-
π
3
=
π
6
或2x-
π
3
=
5π
6
．解得x=
π
4
或x=
7π
12
．…（9分）
由已知，A，B是△ABC的內(nèi)角，A＜B且f（A）=f（B）=
1
2
，
∴A=
π
4
，B=
7π
12
．
∴C=π-A-B=
π
6
．…（11分）
由正弦定理，得
BC
AB
=
sinA
sinC
=
sin
π
4
sin
π
6
=
2
2
1
2
=
2
．…（14分）
點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的運算，考查正弦定理的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題及運算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2cosx，
3
sinx)，
b
=(sin(x+
π
3
)，
3
3
cosx-sinx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．（2）若x∈[-
π
2
，0]時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sinx，cosx)，  
b
=(cosx，cosx)，函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[
π
6
，
π
2
]時，若f（x）=1，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，  1)，
n
=(cosx，  
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（1） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3， f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
（C為銳角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：巢湖模擬 題型：解答題

已知向量
a
=(
3
sinx，cosx)，  
b
=(cosx，cosx)，函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[
π
6
，
π
2
]時，若f（x）=1，求x的值．

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