Question

如圖，S-ABC是三條棱兩兩互相垂直的三棱錐，O為底面ABC內一點，若∠OSA=α，∠OSB=β，∠OSC=γ，那么tanαtanβtanγ的取值范圍為

[2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：過O分別作與SA、SB、SC平行的平面交三棱錐的側棱，側面于各點，補形得到以SO為對角線的長方體，利用長方體體對角線的平方等于過一個頂點的三條棱的平方和得到cos²α+cos²β+cos²γ=1，移向變形得到sin²α=1-cos²α=cos²β+cos²γ≥2cosβcosγ及另外類似的兩個式子，作積后整理即可得到答案．

解答：解：如圖，
過O分別作與SA、SB、SC平行的平面交三棱錐的側棱，側面于如圖所示的點，
得到的圖形是以SO為對角線的長方體，
則cos²α+cos²β+cos²γ=

SD2

SO2

+

SE2

SO2

+

SF2

SO2

=1．
所以sin²α=1-cos²α=cos²β+cos²γ≥2cosβcosγ．
同理sin²β≥2cosαcosγ，sin²γ≥2cosαcosβ．
則sin²α•sin²β•sin²γ≥8cos²α•cos²β•cos²γ．
所以tanα•tanβ•tanγ≥2

2

．
故答案為[2

2

，+∞)．

點評：本題考查了棱錐的結構特征，考查了同角三角函數的基本關系式，解答的關鍵是想到補形，把零散的角集中到一個長方體中解決，此題屬中檔題．