【題目】已知數(shù)列的前6項依次成等比數(shù)列,設公比為q(),數(shù)列從第5項開始各項依次為等差數(shù)列,其中,數(shù)列的前n項和為.
(1)求公比q及數(shù)列的通項公式;
(2)若,求項數(shù)n的取值范圍.
【答案】(1),(2),
【解析】
(1)設等比數(shù)列的公比為q,,代入,解得,再討論和兩種情況得到答案.
(2)先計算數(shù)列前4項的和為20,構造數(shù)列,前m項和計算不等式得到答案.
(1)設等比數(shù)列的公比為q,則
∵從第5項開始各項依次為等差數(shù)列,∴
∵,∴,解得或
∵數(shù)列為非常數(shù)列,∴
當時,
當時,,∴
綜上所述,
(2)易知數(shù)列前4項的和為20,從第5項開始為等差數(shù)列,
當時,數(shù)列為2,-1,-4,-7,
可令數(shù)列為2,-1,-4,-7,數(shù)列的前m項和,
依題意,,∴
綜上所述:,
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【題目】已知兩動圓和(),把它們的公共點的軌跡記為曲線,若曲線與軸的正半軸的交點為,且曲線上的相異兩點滿足:.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)證明直線恒經(jīng)過一定點,并求此定點的坐標;
(3)求面積的最大值.
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【題目】某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張,其中燃油型汽車牌照10萬張,電動型汽車2萬張,為了節(jié)能減排和控制總量,從2013年開始,每年電動型汽車牌照按50%增長,而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張,同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張,以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.
(1)記2013年為第一年,每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構成數(shù)列,每年發(fā)放電動型汽車牌照數(shù)為構成數(shù)列,完成下列表格,并寫出這兩個數(shù)列的通項公式;
(2)從2013年算起,累計各年發(fā)放的牌照數(shù),哪一年開始超過200萬張?
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【題目】已知雙曲線過點,且漸近線方程為,直線與曲線交于點、兩點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線過原點,點是曲線上任一點,直線,的斜率都存在,記為、,試探究的值是否與點及直線有關,并證明你的結(jié)論;
(3)若直線過點,問在軸上是否存在定點,使得為常數(shù)?若存在,求出點坐標及此常數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,底面是直角梯形,∥,,且,,是棱的中點 .
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)設點是線段上的動點,與平面所成的角為,求的最大值.
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【題目】給出如下四個命題:①若“且”為假命題,則均為假命題;②命題“若,則”的否命題為“若,則”; ③“,則”的否定是“,則”;④在中,“”是“”的充要條件.其中正確的命題的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】隨著城市地鐵建設的持續(xù)推進,市民的出行也越來越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某條地鐵線路運行時,發(fā)車時間間隔t(單位:分鐘)滿足:4≤t≤15,N,平均每趟地鐵的載客人數(shù)p(t)(單位:人)與發(fā)車時間間隔t近似地滿足下列函數(shù)關系:,其中.
(1)若平均每趟地鐵的載客人數(shù)不超過1500人,試求發(fā)車時間間隔t的值.
(2)若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),問當發(fā)車時間間隔t為多少時,平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大?井求出最大凈收益.
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