Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

 

Answer 1

（1）在上遞減，在上遞增；（2）；（3）證明詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分別求解不等式、，即可求出函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（2）先根據(jù)函數(shù)在取得極值，得到，進(jìn)而求出的值，進(jìn)而采用分離參數(shù)法得到，該不等式恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系求出函數(shù)的最小值即可；（3）先將要證明的問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明該函數(shù)在單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

得，得

∴在上遞減，在上遞增

（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴

∴

令，可得在上遞減，在上遞增

∴，即

（3）證明：

令，則只要證明在上單調(diào)遞增

又∵

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增

∴，即

∴在上單調(diào)遞增，即

∴當(dāng)時(shí)，有．

考點(diǎn)：1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)；3．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；4．分離參數(shù)法；5．構(gòu)造函數(shù)法．