Question

（2006•靜安區(qū)二模）已知無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}（n為正整數(shù)）的首項(xiàng)a₁=

1

2

，公比q=

1

2

．設(shè)T_n=a₁²+a₃²+…+a_2n-1²，則

lim

n→+∞

Tn=

4

15

．

Answer 1

分析：由題意求得a_n=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，利用等比數(shù)列的求和公式求得T_n =

4

15

[1-(

1

16

)n]，再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求得 

lim

n→+∞

Tn 的值．

解答：解：由題意可得a_n=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
T_n=a₁²+a₃²+…+a_2n-1² =

1

4

+(

1

4

)3+(

1

4

)5+…+(

1

4

)2n-1=

1 4 [1-( 1 16 )n]

1- 1 16

=

4

15

[1-(

1

16

)n]，
故有

lim

n→+∞

Tn=

lim

n→∞

 

4

15

[1-(

1

16

)n]=

4

15

，
故答案為

4

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于中檔題．