【題目】表面積為的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為1，若平面平面ABC，則三棱錐體積的最大值為______．

【答案】

【解析】

由球的表面積求出半徑OB，再計(jì)算的面積為定值，由此得出S在AB的中垂線(xiàn)上且位于球心同側(cè)時(shí)，棱錐體積的最大，結(jié)合圖形求出點(diǎn)S到平面ABC的距離，由此求得棱錐體積的最大值．

過(guò)球心O作平面ABC的垂線(xiàn)段OD，垂足為D，過(guò)D作，垂足為E，

連接BD，則，，如圖所示；

則球的表面積為，解得半徑；

又，；

又是等邊三角形，是的中心，

，；

；

由球的對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)S在AB的中垂線(xiàn)上時(shí)，S到平面ABC的距離最大，

過(guò)O作平面SAB的垂線(xiàn)段SH，垂足為H，

平面平面ABC，，平面平面，平面ABC，

平面SAB；又平面SAB，

，

四邊形ODEH是矩形，

，，

，

，

；

則三棱錐面積的最大值為：

．

故答案為：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值；

（2）求曲線(xiàn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)橢圓： ，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線(xiàn)： 的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率是．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于， 兩點(diǎn)，過(guò)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)滿(mǎn)足，則下列命題中正確的是（）

A. 函數(shù)圖像的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為

B. 函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C. 函數(shù)圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我們知道，地球上的水資源有限，愛(ài)護(hù)地球、節(jié)約用水是我們每個(gè)人的義務(wù)和責(zé)任.某市政府為了對(duì)自來(lái)水的使用進(jìn)行科學(xué)管理，節(jié)約水資源，計(jì)劃確定一個(gè)家庭年用水量的標(biāo)準(zhǔn)，為此，對(duì)全市家庭日常用水的情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，并獲得了個(gè)家庭某年的用水量（單位：立方米），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

（Ⅰ）分別求出的值；

（Ⅱ）若以各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值，試估計(jì)全市家庭平均用水量；

（Ⅲ）從樣本中年用水量在（單位：立方米）的個(gè)家庭中任選個(gè)，作進(jìn)一步跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（個(gè)家庭的年用水量都不相等）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表（假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300）：

空氣質(zhì)量指數(shù)

空氣質(zhì)量等級(jí)

1級(jí)優(yōu)

2級(jí)良

3級(jí)輕度污染

4級(jí)中度污染

5級(jí)重度污染

6級(jí)嚴(yán)重污染

該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.

（1）以這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為估計(jì)2018年11月的空氣質(zhì)量情況，則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良？

（2）從這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取三天，求恰好有一天空氣質(zhì)量良的概率；

（3）從這10天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記表示抽取空氣質(zhì)量良的天數(shù)，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】動(dòng)圓M與圓F1：x2+y2+6x+5＝0外切，同時(shí)與圓F2：x2+y2﹣6x﹣91＝0內(nèi)切．

（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程E，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)；

（2）若直線(xiàn)yx+m與（1）中的軌跡E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是的準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)且與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直，則點(diǎn)到的距離的最小值的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為邊上一點(diǎn)，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若，試問(wèn)：是否與平面平行？若平行，求三棱錐的體積；若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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