【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面,底面是矩形,,是的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)點(diǎn)在棱上,且直線與直線所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)證明CEAD,結(jié)合CEPD,即可證得平面。
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出各點(diǎn)坐標(biāo),由直線與直線所成角的余弦值為求得點(diǎn)F的坐標(biāo),再求出平面,平面的法向量,利用法向量夾角公式得解。
(1)平面平面,平面平面,平面,
平面,又平面,.
側(cè)面是等邊三角形且是的中點(diǎn)
又
平面
(2)如圖,以為原點(diǎn),以為軸正方向,以為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,
,,
點(diǎn)在棱上,設(shè),
則,
直線與直線所成角的余弦值為.
又,解得:
即為的中點(diǎn)
,,
設(shè)平面的法向量為,則
令,則
設(shè)平面的法向量為,則
令,則
二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度;
(2)試估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知幾何體,其中四邊形為直角梯形,四邊形為矩形, ,且, .
(1)試判斷線段上是否存在一點(diǎn),使得平面,請(qǐng)說明理由;
(2)若,求該幾何體的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量,,令函數(shù),若函數(shù)的部分圖象如圖所示,且點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱軸方程;
(3)若把方程的正實(shí)根從小到大依次排列為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為1的正方體中,點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與不重合),則下列結(jié)論正確的是____.
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面;
③的面積不可能等于;
④若分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為,射線與橢圓的交點(diǎn)為M,過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于A,B兩點(diǎn)(異于M).
(1)求證:直線AB的斜率為定值;
(2)求面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為,命中8環(huán)以下的概率為,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán),6、7、8、9表示命中8環(huán)以下,再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次射擊的結(jié)果,產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率為( )
A. B.
C. D.
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