Question

（2012•湖北）設(shè)函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1．
（I）求a，b的值；
（II）求函數(shù)f（x）的最大值
（III）證明：f（x）＜

1

ne

．

Answer 1

分析：（I）由題意曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，故可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切點(diǎn)處的函數(shù)值建立關(guān)于參數(shù)的方程求出兩參數(shù)的值；
（II）由于f（x）=xⁿ（1-x），可求f′（x）=（n+1）x^n-1（

n

n+1

-x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值；
（III）結(jié)合（II），欲證f（x）＜

1

ne

．由于函數(shù)f（x）的最大值f（

n

n+1

）=（

n

n+1

）ⁿ（1-

n

n+1

）=

nn

(n+1)n+1

，故此不等式證明問題可轉(zhuǎn)化為證明

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，對(duì)此不等式兩邊求以e為底的對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)，可構(gòu)造函數(shù)φ（t）=lnt-1+

1

t

，借助函數(shù)的最值輔助證明不等式．

解答：解：（I）因?yàn)閒（1）=b，由點(diǎn)（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0．
因?yàn)閒′（x）=anx^n-1-a（n+1）xⁿ，所以f′（1）=-a．
又因?yàn)榍芯�x+y=1的斜率為-1，所以-a=-1，即a=1，故a=1，b=0．
（II）由（I）知，f（x）=xⁿ（1-x），則有f′（x）=（n+1）x^n-1（

n

n+1

-x），令f′（x）=0，解得x=

n

n+1

在（0，

n

n+1

）上，導(dǎo)數(shù)為正，故函數(shù)f（x）是增函數(shù)；在（

n

n+1

，+∞）上導(dǎo)數(shù)為負(fù)，故函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（

n

n+1

）=（

n

n+1

）ⁿ（1-

n

n+1

）=

nn

(n+1)n+1

，
（III）令φ（t）=lnt-1+

1

t

，則φ′（t）=

1

t

-

1

t 2

=

t-1

t 2

（t＞0）
在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）單調(diào)減；在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）單調(diào)增；
故φ（t）在（0，∞）上的最小值為φ（1）=0，
所以φ（t）＞0（t＞1）
則lnt＞1-

1

t

，（t＞1），
令t=1+

1

n

，得ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，即ln（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞lne
所以（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，即

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

由（II）知，f（x）≤

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，
故所證不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值及利用最值證明不等式，本題技巧性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題設(shè)及證明中的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)輔助證明，本題是能力型題，難度較大，是高考選拔優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才的首選題，題后要注意總結(jié)本題的解題規(guī)律，領(lǐng)會(huì)構(gòu)造法證明不等式的要旨，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想及函數(shù)思想，難度較大極易找不到思路或計(jì)算出錯(cuò)，學(xué)作為壓軸題出現(xiàn)．