Question

某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數(shù)按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]分組，其頻率分布直方圖如右圖所示，工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，引進了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進行結(jié)業(yè)考試，已知各年齡段兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，假設(shè)兩項培訓(xùn)是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響．

年齡分組	A項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)	B項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)，并估計全廠工人的平均年齡；
（2）隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意及頻率分布直方圖可知：各年齡段的人數(shù)20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的分別為：0.035×10×120=42，0.040×10×120=48，0.015×10×120=18，0.01×10×120=12，利用分層抽樣方法得：每一個年齡段內(nèi)應(yīng)抽的人數(shù)分別為：

40

120

×42=14，

40

120

×48=16，

40

120

×18=6，

40

120

×12=4，有所給的頻率分布直方圖可知全廠工人的平均年齡為：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35即為所求；
（2）有表可知：從[20，30]年齡段抽一人，該人是A項目培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為：

30

42

=

5

7

，該人B項目培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為

18

42

=

3

7

：所以該年齡段抽取的一人兩個項目都優(yōu)秀的概率為：

5

7

×

3

7

=

15

49

，從年齡段[30，40]抽一人，該人A項目結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為：

36

48

=

3

4

，該人B項目培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為：

24

48

=

1

2

，所以在該年齡段內(nèi)任抽一名兩個項目都優(yōu)秀的概率為：

3

4

×

1

2

=

3

8

，由題意隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X的可能只為0，1，2，利用分布列定義及期望定義即可求得．

解答：解：（1）由題意及頻率分布直方圖可知：
各年齡段的人數(shù)20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的分別為：0.035×10×120=42，0.040×10×120=48，0.015×10×120=18，0.01×10×120=12，
若要從120人中抽取40人則利用分層抽樣可知每一個年齡段內(nèi)應(yīng)抽的人數(shù)分別為：

40

120

×42=14，

40

120

×48=16，

40

120

×18=6，

40

120

×12=4，
所以每一段在抽取的40個人的樣本中個年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)分別為：14，16，6，4；
有所給的頻率分布直方圖可知全廠工人的平均年齡為：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35，
有圖估計全場工人的平均年齡為35歲；
（2）因為年齡段在[20，30）和[30，40）中的人數(shù)分別為：42人，48人，若隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，則概率分別為為：

1

42

，

1

48

，
隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，有表可知：從[20，30]年齡段抽一人，該人是A項目培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為：

30

42

=

5

7

，該人B項目培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為

18

42

=

3

7

，所以該年齡段抽取的一人兩個項目都優(yōu)秀的概率為：

5

7

×

3

7

=

15

49

；從年齡段[30，40]抽一人，該人A項目結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為：

36

48

=

3

4

，該人B項目培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為：

24

48

=

1

2

，所以在該年齡段內(nèi)任抽一名兩個項目都優(yōu)秀的概率為：

3

4

×

1

2

=

3

8

，
由題意隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X的可能只為0，1，2，
每一個值下對應(yīng)的概率為：P（X=0）=(1-

15

49

)(1-

3

8

)=

85

196

                        P（X=1）=

15

49

×(1-

3

8

)+(1-

15

49

)×

3

8

=

177

392

                         P（X=2）=

15

49

×

3

8

=

45

392

，
所以X的分布列為：

利用隨機變量的期望公式得：EX=0×

85

196

+1×

177

392

+2×

45

392

=

267

392

．

點評：此題考查了平率分布直方圖，分層抽樣，有直方圖估計平均值，獨立事件都發(fā)生的概率公式，隨機變量的分布列，期望，還考查了學(xué)生的理解與計算能力．