【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若時,關(guān)于的方程有唯一解,求的值.
【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) .
【解析】試題分析:(1)首先函數(shù)的定義域要求x>0,對函數(shù)求導(dǎo),針k為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況考查導(dǎo)數(shù)的符號,借助導(dǎo)數(shù)的正負說明函數(shù)的增減性;(2)當(dāng)k=2014時,寫出函數(shù)f(x)的表達式,使關(guān)于的方程有唯一解,只需有唯一根,構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)g(x)求導(dǎo),令,得,研究函數(shù)個g(x)在 上的單調(diào)性和和g(x)的極小值,由于有唯一解,則要求則根據(jù)兩式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)可構(gòu)造函數(shù),由于 h(x)在上單增且,說明中的,從而解得 .
試題解析:
(Ⅰ) 由已知得x>0且.
當(dāng)k是奇數(shù)時, ,則f(x)在(0,+ )上是增函數(shù);
當(dāng)k是偶數(shù)時,則.
所以當(dāng)x 時, ,當(dāng)x 時, .
故當(dāng)k是偶數(shù)時,f (x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(Ⅱ) 若,則.
記, ,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令,得.
因為,所以(舍去),.
當(dāng)時, , 在是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)時, , 在上是單調(diào)遞增函數(shù).
當(dāng)x=x2時, , .因為有唯一解,所以.
則 即設(shè)函數(shù),
因為在x>0時,h (x)是增函數(shù),所以h (x) = 0至多有一解.
因為h (1) = 0,所以方程(*)的解為x 2 = 1,從而解得
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市民用水?dāng)M實行階梯水價,每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費,超出立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米, 至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當(dāng)時,估計該市居民該月的人均水費.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的表面積為(單位:m2)( )
A. (11+4)π B. (12+4)π C. (13+4)π D. (14+4)π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟的發(fā)展,某城市的市民收入逐年增長,表1是該城市某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款額(年底余額):
表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款額y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計算的方便,工作人員將表1的數(shù)據(jù)進行了處理,令t=x-2 010,z=y-5,得到表2:
表2
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)z關(guān)于t的線性回歸方程是________;y關(guān)于x的線性回歸方程是________;
(2)用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該銀行儲蓄存款額可達________千億元.
(附:線性回歸方程=x+,其中=,=-)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第1件首飾是1顆珠寶,第2件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成的如圖1所示的正六邊形,第3件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成的如圖2所示的正六邊形,第4件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成的如圖3所示的正六邊形,第5件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成的如圖4所示的正六邊形,以后每件首飾都在前一件的基礎(chǔ)上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷:
(1)第6件首飾上應(yīng)有________顆珠寶;
(2)前n(n∈N*)件首飾所用珠寶總顆數(shù)為________.(結(jié)果用n表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題分)
如圖, 和所在的平面互相垂直,且, .
(Ⅰ)求證: .
(Ⅱ)求直線與面所成角的大小的正弦值.
(Ⅲ)求二面角的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸,硝酸鹽18噸;生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸,硝酸鹽15噸.現(xiàn)庫存磷酸鹽10噸,硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.如果生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為12 000元,生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為7 000元,那么可產(chǎn)生的最大利潤是( )
A. 29 000元 B. 31 000元 C. 38 000元 D. 45 000元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)己知函數(shù)f(x)=
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)>2
(3)設(shè)實數(shù)k使得f(x)>k對x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1 ,在△ABC中,AB=BC=2, ∠B=90°,D為BC邊上一點,以邊AC為對角線做平行四邊形ADCE,沿AC將△ACE折起,使得平面ACE ⊥平面ABC,如圖2.
(1)在圖 2中,設(shè)M為AC的中點,求證:BM丄AE;
(2)在圖2中,當(dāng)DE最小時,求二面角A -DE-C的平面角.
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