Question

【題目】已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：a1=，an+bn=1，bn+1=.

（1）求a2，a3；

（2）證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

（3）設(shè)Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求實數(shù)λ為何值時4λSn＜bn恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，，（3）λ≤1

【解析】

（1）由給出的，循環(huán)代入和可求解，；

（2）由得，結(jié)合，去掉與得到與的關(guān)系式，整理變形后可證得數(shù)列是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列，求出其通項公式后即可求得數(shù)列和的通項公式；

（3）首先利用裂項求和求出，代入，通過對分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值求使恒成立的實數(shù)的值．

（1）解：，，，

，，，

∴；

（2）證明：由，

，

，即，

，

數(shù)列是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列，

，則，

；

（3）解：由，

，

，

要使恒成立，只需恒成立，

設(shè)，

當時，恒成立；

當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不滿足對于任意恒成立；

當時，對稱軸，在，為單調(diào)遞減函數(shù)，

只需，

，∴時，恒成立，

綜上知：時，恒成立．