Question

（2012•盧灣區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

x+1-t

t-x

（t為常數(shù)）．
（1）當t=1時，在圖中的直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，并指出該函數(shù)所具備的基本性質(zhì)中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設(shè)a_n=f（n）（n∈N^*），當t＞10，且t∉N^*時，試判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性并由此寫出該數(shù)列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數(shù)）．
（3）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構(gòu)造過程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；若x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．若可用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列{x_n}，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，f（x）=

x

1-x

=-1+

-1

x-1

，畫出函數(shù)的圖象，利用圖象可得函數(shù)的性質(zhì)；
（2）a_n=

n+1-t

t-n

=-1+

-1

n-t

，確定1≤n≤[t]，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均小于-1，由此可得結(jié)論
（3）只需當x≠t時，方程f（x）=x有解，亦即方程x²+（1-t）x+1-t=0有不等于t的解，由△≥0，可得實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）當t=1時，f（x）=

x

1-x

=-1+

-1

x-1

．
圖象如圖（2分）
基本性質(zhì)：（每個2分）
奇偶性：既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；
單調(diào)性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分別遞增；
零點：x=0；
最值：無最大、小值．（6分）
（2）a_n=

n+1-t

t-n

=-1+

-1

n-t

，
當1≤n≤[t]，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均大于-1，
當n≥[t]+1，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均小于-1，（8分）
因此，數(shù)列中的最大項為a_[t}=

[t]+1-t

t-[t]

，（10分）
最小項為a_[t}+1=

[t]+2-t

t-1-[t]

．（12分）
（3）根據(jù)題意，只需當x≠t時，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-t）x+1-t=0有不等于t的解，（14分）
將x=t代入方程左邊，得左邊為1≠0，故方程不可能有x=t的解．（16分）
由△=（1-t）²-4（1-t）≥0，解得t≤-3或t≥1，
即實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（18分）

點評：本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查方程解的研究，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．