Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程，有實(shí)數(shù)根②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.
(I) 若函數(shù)為集合M中的任意一個(gè)元素，證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
(II) 判斷函數(shù)是否是集合M中的元素,并說明理由；
(III) 設(shè)函數(shù)為集合M中的任意一個(gè)元素，對(duì)于定義域中任意，當(dāng),且時(shí),證明：.

Answer 1

(Ⅰ) 令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù),
所以，方程，即至多有一解，
又由題設(shè)①知方程有實(shí)數(shù)根，
所以，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根…………………………………..4分
(Ⅱ) 易知，，滿足條件②；
令，
則，…………………………………..7分
又在區(qū)間上連續(xù)，所以在上存在零點(diǎn)，
即方程有實(shí)數(shù)根，故滿足條件①，
綜上可知，……….…………………9分
(Ⅲ)不妨設(shè)，∵,∴單調(diào)遞增，
∴,即，
令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴,即，
∴，
則有

略